5.4. Особенности реальных регуляторов5.4.1. Погрешность дифференцирования и шум5.4.2. Интегральное насыщение5.4.3. Запас устойчивости и робастность5.4.4. Сокращение нулей и полюсов5.4.5. Безударное переключение режимов регулирования5.4.6. Дискретная форма регулятораОписанный выше ПИД-регулятор и его модификации являются теоретическими идеализациями реальных регуляторов, поэтому для их практического воплощения необходимо учесть особенности, порождаемые реальными условиями применения и технической реализации. К таким особенностям относятся:
Ниже описываются методы решения перечисленных проблем. 5.4.1. Погрешность дифференцирования и шумПроблема численного дифференцирования является достаточно старой и общей как в цифровых, так и в аналоговых регуляторах. Суть ее заключается в том, что производная вычисляется обычно как разность двух близких по величине значений функции, поэтому относительная погрешность производной всегда оказывается больше, чем относительная погрешность численного представления дифференцируемой функции. В частности, если на вход дифференциатора поступает синусоидальный сигнал
Если помехи, усиленные дифференциатором, лежат за границей рабочих частот ПИД-регулятора, то их можно ослабить с помощью фильтра верхних частот. Структурная реализация дифференциатора с фильтром показана на рис. 5.66. Здесь т.е. передаточная функция полученного дифференциатора Большее ослабление высокочастотных шумов можно получить с помощью отдельного фильтра, который включается последовательно с ПИД-регулятором. Обычно используют фильтр второго порядка [Astrom] с передаточной функцией Постоянную времени фильтра обычно выбирают равной Кроме шумов дифференцирования на характеристики ПИД-регулятора влияют шумы измерений. Через цепь обратной связи эти шумы поступают на вход системы и затем проявляются как дисперсия управляющей переменной Поскольку объект управления обычно является низкочастотным фильтром, шумы измерений редко проникают по контуру регулирования на выход системы. Однако они увеличивают погрешность измерений В ПИД регуляторах различают шум с низкочастотным спектром, вызванный внешними воздействиями на объект управления, и высокочастотный шум, связанный с электромагнитными наводками, помехами по шинам питания и земли, с дискретизацией измеряемого сигнала и другими причинами [Денисенко, Денисенко]. Низкочастотный шум моделируют как внешние возмущения ( 5.4.2. Интегральное насыщение
В установившемся режиме работы и при малых возмущениях большинство систем с ПИД-регуляторами являются линейными. Однако процесс выхода на режим практически всегда требует учета нелинейности типа "ограничение". Эта нелинейность связана с естественными ограничениями на мощность, скорость, частоту вращения, угол поворота, площадь поперечного сечения клапана, динамический диапазон, и т. п. Контур регулирования в системе, находящейся в насыщении (когда переменная достигла ограничения), оказывается разомкнутым, поскольку при изменении переменной на входе звена с ограничением его выходная переменная остается без изменений. Наиболее типовым проявлением режима ограничения является так называемое "интегральное насыщение", которое возникает в процессе выхода системы на режим в регуляторах с ненулевой постоянной интегрирования Суть проблемы интегрального насыщения состоит в том, что если сигнал на входе объекта управления Для тепловых систем ограничением снизу обычно является нулевая мощность нагрева, в то время как ПИД-регулятор требует подачи на объект "отрицательной мощности нагрева", т.е. требует охлаждения объекта.
Эффект интегрального насыщения известен давно. В аналоговых регуляторах его устранение было достаточно проблематичным, поскольку в них проблема не могла быть решена алгоритмически, а только аппаратными средствами. С появлением микропроцессоров проблему удается решить гораздо эффективнее. Методы устранения интегрального насыщения обычно являются предметом изобретений, относятся к коммерческой тайне фирм-производителей и защищаются патентами. Ниже рассмотрены несколько таких идей, описанных в литературе [Astrom]. Ограничение скорости нарастания входного воздействияПоскольку максимальное значение входного воздействия на объект управления Алгоритмический запрет интегрированияКогда управляющее воздействие на объект достигает насыщения, обратная связь разрывается и интегральная составляющая продолжает расти, даже если при отсутствии насыщения она должна была бы падать. Поэтому один из методов устранения интегрального насыщения состоит в том, что контроллер следит за величиной управляющего воздействия на объект, и как только оно достигает насыщения, контроллер вводит программный запрет интегрирования для интегральной составляющей.
Компенсация насыщения с помощью дополнительной обратной связиЭффект интегрального насыщения можно ослабить, отслеживая состояние исполнительного устройства, входящего в насыщение, и компенсируя сигнал, подаваемый на вход интегратора [Astrom]. Структура системы с таким компенсатором показана на рис. 5.71. Принцип ее работы состоит в следующем. В системе вырабатывается сигнал рассогласования между входом и выходом исполнительного устройства В некоторых регуляторах вход
Условное интегрированиеЭтот способ является обобщением алгоритмического запрета интегрирования. После наступления запрета интегральная составляющая остается постоянной, на том же уровне, который она имела в момент появления запрета интегрирования. Обобщение состоит в том, что запрет интегрирования наступает не только при достижении насыщения, но и при некоторых других условиях. Такими условиями могут быть, например, достижение сигналом ошибки На рис. 5.73 показан пример переходного процесса в системе с отключением интегратора при достижении выходной величины Интегратор с ограничениемНа рис. 5.58 был представлен вариант реализации ПИ-регулятора с помощью интегратора в цепи обратной связи. Если эту схему дополнить ограничителем (рис. 5.74-а), то сигнал Модель эффекта ограничения можно улучшить, если после превышении уровня, при котором наступает ограничение, уменьшить сигнал на выходе модели (рис. 5.76) [Astrom]. Это ускоряет выход системы из режима насыщения.
5.4.3. Запас устойчивости и робастностьВозможность потери устойчивости является основным недостатком систем с обратной связью. Поэтому обеспечение необходимого запаса устойчивости являются самым важным этапом при разработке и настройке ПИД-регулятора. Устойчивость системы с ПИД-регулятором - это способность системы возвращаться к слежению за уставкой после прекращения действия внешних воздействий. В контексте данного определения под внешними воздействиями понимаются не только внешние возмущения, действующие на объект, но любые возмущения, действующие на любую часть замкнутой системы, в том числе шумы измерений, временная нестабильность уставки, шумы дискретизации и квантования, шумы и погрешность вычислений. Все эти возмущения вызывают отклонения системы от положения равновесия. Если после прекращения воздействия система возвращается в положение равновесия, то она считается устойчивой. При анализе устойчивости ПИД-регуляторов обычно ограничиваются исследованием реакции системы на ступенчатое изменение уставки
В производственных условиях попытки добиться устойчивости системы с ПИД-регулятором опытным путем, без ее идентификации, не всегда приводят к успеху (например, для систем с объектом высокого порядка, для систем с большой транспортной задержкой или для объектов, которые трудно идентифицировать). Это создает впечатление, что устойчивость - мистическое свойство, которым не всегда можно управлять. Однако, если процесс идентифицирован достаточно точно, то мистика исчезает и анализ устойчивости сводится к анализу дифференциального уравнения, описывающего замкнутый контур с обратной связью. Практически интерес представляет анализ запаса устойчивости, т. е. определение численных значений критериев, которые позволяют указать, как далеко находится система от состояния неустойчивости. Наиболее полную информацию о запасе устойчивости системы можно получить, решив дифференциальное уравнение, описывающее замкнутую систему при внешних возмущениях. Однако этот процесс слишком трудоемок, поэтому для линейных систем используют упрощенные методы, позволяющие дать оценку запаса устойчивости без решения уравнений [Воронов]. Мы рассмотрим два метода: оценку с помощью годографа комплексной частотной характеристики разомкнутого контура (критерий Найквиста) и с помощью логарифмических АЧХ и ФЧХ (диаграмм Боде). Устойчивая система может стать неустойчивой при небольших изменениях ее параметров, например, вследствие их технологического разброса. Поэтому ниже мы проанализируем функцию чувствительности системы с ПИД-регулятором, которая позволяет выявить условия, при которых система становится грубой (мало чувствительной к изменению ее параметров). Система, которая сохраняет заданный запас устойчивости во всем диапазоне изменений параметров вследствие их технологического разброса, старения, условий эксплуатации, во всем диапазоне изменений параметров нагрузки, а также во всем диапазоне действующих на систему возмущений в реальных условиях эксплуатации, называют робастной. Иногда робастность и грубость используют как эквивалентные понятия. Критерий НайквистаРассмотрим систему, состоящую из контроллера
Тогда, пройдя через регулятор и объект управления, этот сигнал появится на выходе
где
Если теперь замкнуть точки
Решив уравнение Комплексную частотную характеристику На рис. 5.79 показаны реакции замкнутых систем с тремя различными годографами (рис. 5.78) на единичный скачок уставки. Все три системы устойчивы, однако скорость затухания колебаний и форма переходного процесса у них различная. Интуитивно понятно, что система с параметрами Запас устойчивости оценивают как степень удаленности КЧХ от критической точки [-1, j0]. Если
Запасом по усилению
Если на частоте сдвига фаз 180˚ Аналогично вводится понятие запаса по фазе: это минимальная величина
Знак "+" перед Для оценки запаса устойчивости используют также минимальное расстояние На практике считаются приемлемыми значения Для графика на рис. 5.78 эти критерии имеют следующие значения:
Если кривая годографа пересекает действительную ось в нескольких точках, то для оценки запаса устойчивости берут ту из них, которая наиболее близка к точке [-1, j0]. При более сложном годографе может быть использована оценка запаса устойчивости как запас по задержке [Astrom]. Запас по задержке- это минимальная задержка, при добавлении которой в контур он теряет устойчивость. Наиболее часто этот критерий используется для оценки запаса устойчивости систем с предиктором Смита. Частотный критерий устойчивости
Для графического представления передаточной функции разомкнутой системы и оценки запаса устойчивости могут быть использованы логарифмические АЧХ и ФЧХ (рис. 5.80). Для оценки запаса по фазе сначала с помощью АЧХ находят частоту Если запас по фазе разомкнутого контура равен 0˚ или запас по усилению равен 1, после замыкания контура обратной связи система окажется неустойчивой. Функции чувствительностиПередаточная функция реального объекта
Поделив обе части этого равенства на
Из последнего соотношения виден смысл коэффициента
Как следует из (5.92),
Величина Заметим, что функция чувствительности входит во все три слагаемые уравнения замкнутой системы с ПИД-регулятором (5.42). Функция чувствительности позволяет оценить изменение свойств системы после замыкания обратной связи. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы равна Таким образом, зная вид функции Наихудший случай (наибольшее усиление внешних воздействий) будет наблюдаться на частоте максимума
Максимум функции чувствительности можно связать с запасом устойчивости
Сопоставляя (5.95) и (5.96), можно заключить, что
Если с ростом частоты модуль
Аналогично, но с более грубыми допущениями можно записать оценку запаса по фазе через максимум функции чувствительности [Astrom]:
Например, при
РобастностьРобастность - это способность системы сохранять заданный запас устойчивости при вариациях ее параметров, вызванных изменением нагрузки (например, при изменении загрузки печи меняются ее постоянные времени), технологическим разбросом параметров и их старением, внешними воздействиями, погрешностями вычислений и погрешностью модели объекта. Используя понятие чувствительности, можно сказать, что робастность - это низкая чувствительность запаса устойчивости к вариации параметров объекта. Если параметры объекта изменяются в небольших пределах, когда можно использовать замену дифференциала конечным приращением, влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы можно оценить с помощью функции чувствительности (5.92). В частности, можно сделать вывод, что на тех частотах, где модуль функции чувствительности мал, будет мало и влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы и, соответственно, на запас устойчивости. Для оценки влияния больших изменения параметров объекта представим передаточную функцию объекта в виде двух слагаемых
где
![]() откуда где
которое должно выполняться, чтобы система сохраняла устойчивость при изменении параметров процесса на величину 5.4.4. Сокращение нулей и полюсовПоскольку передаточная функция разомкнутой системы Поэтому каждый раз, когда происходит сокращение нулей и полюсов, необходимо проверять устойчивость системы при реальном разбросе параметров объекта. Вторым эффектом является появление существенного различия между временем установления переходного процесса при воздействии сигнала уставки и внешних возмущений. Поэтому необходимо проверять реакцию синтезированного регулятора для каждого из этих воздействаий. 5.4.5. Безударное переключение режимов регулированияВ ПИД-регуляторах могут существовать режимы, когда их параметры изменяются скачком. Например, когда в работающей системе потребовалось изменить постоянную интегрирования или если после ручного управления системой необходимо перейти на автоматический режим. В описанных случаях могут появиться нежелательные выбросы регулируемой величины, если не принять специальных мер. Поэтому возникает задача плавного ("безударного") переключения режимов работы или параметров регулятора. Основной метод решения проблемы заключается в построении такой структуры регулятора, когда изменение параметра выполнятся до этапа интегрирования. Например, при изменяющемся параметре ![]() ![]() В первом случае при скачкообразном изменении Аналогичный метод реализуется в инкрементной форме ПИД-регулятора (см. раздел "Инкрементная форма цифрового ПИД-регулятора") и в последовательной форме ПИД-регулятора, где интегрирование выполняется на заключительной стадии вычисления управляющего воздействия. 5.4.6. Дискретная форма регулятораНепрерывные переменные удобно использовать для анализа и синтеза ПИД-регуляторов. Для технического воплощения необходимо перейти к дискретной форме уравнений, поскольку основой всех регуляторов является микроконтроллер, контроллер или компьютер, которые оперируют с переменными, полученными из аналоговых сигналов после их дискретизации по времени и квантования по уровню. Вследствие конечного времени вычисления управляющего воздействия в микроконтроллере и задержки аналого-цифрового преобразования между моментом поступления аналогового сигнала на вход регулятора и появлением управляющего воздействия на его выходе появляется нежелательная задержка, которая увеличивает общую задержку в контуре регулирования и снижает запас устойчивости. Основным эффектом, который появляется при дискретизации и который часто "открывают заново", является появление алиасных частот в спектре квантованного сигнала в случае, когда частота дискретизации недостаточно высока. Аналогичный эффект возникает при киносъемке вращающегося колеса автомобиля. Частота алиасного сигнала равна разности между частотой помехи и частотой дискретизации. При этом высокочастотный сигнал помехи смещается в низкочастотную область, где накладывается на полезный сигнал и создает большие проблемы, поскольку отфильтровать его на этой стадии невозможно. Для устранения алиасного эффекта перед входом аналого-цифрового преобразователя необходимо установить аналоговый фильтр, который бы ослаблял помеху по крайне мере на порядок на частоте, равной половине частоты дискретизации. Обычно используют фильтр Баттерворта второго или более высокого порядка. Вторым вариантом решения проблемы является увеличение частоты дискретизации так, чтобы она по крайней мере в 2 раза (согласно теореме Котельникова) была выше максимальной частоты спектра помехи. Это позволяет применить после дискретизации цифровой фильтр нижних частот. При такой частоте дискретизации полученный цифровой сигнал с точки зрения количества информации полностью эквивалентен аналоговому и все свойства аналогового регулятора можно распространить на цифровой. Переход к конечно-разностным уравнениямПереход к дискретным переменным в уравнениях аналогового регулятора выполняется путем замены производных и интегралов их дискретными аналогами. Если уравнение записано в операторной форме, то сначала выполняют переход из области изображений в область оригиналов. При этом оператор дифференцирования заменяют производной, оператор интегрирования - интегралом. Существует множество способов аппроксимации производных и интегралов их дискретными аналогами, которые изложены в курсах численных методов решения дифференциальных уравнений. В ПИД-регуляторах наиболее распространенными являются простейшая аппроксимация производной конечной разностью и интеграла - конечной суммой. Рассмотрим интегральный член ПИД-регулятора:
Таким образом, очередное значение интеграла можно вычислить, зная предыдущее и значение ошибки в предыдущий момент времени. Однако такая формула имеет свойство накапливать ошибку вычислений с течением времени, если отношение
Рассмотрим дифференциальный член ПИД-регулятора с фильтром
Переходя в этой формуле от изображений к оригиналам, получим
Для сходимости итерационного процесса (5.103) необходимо, чтобы
При
Лучшими характеристиками обладает разностное уравнение, полученное при использовании правых разностей:
Здесь условие сходимости
Можно использовать еще более точные формулы численного дифференцирования и интегрирования, известные из курса численных методов решения уравнений. Величина шага дискретизации Если на входе регулятора нет антиалиасного фильтра, то частоту дискретизации выбирают в 2 раза выше верхней граничной частоты спектра помехи, чтобы использовать цифровую фильтрацию. Необходимо учитывать также, что исполнительное устройство должно успеть отработать за время Если контроллер используется не только для регулирования, но и для аварийной сигнализации, то такт дискретизации не может быть меньше, чем допустимая задержка срабатывания сигнала аварии. При малом такте дискретизации увеличивается погрешность вычисления производной. Для ее снижения можно использовать сглаживание получаемых данных по нескольким собранным точкам перед этапом дифференцирования. Уравнение цифрового ПИД-регулятораОсновываясь на изложенном выше, уравнение дискретного ПИД-регулятора можно записать в виде
где
Отметим, что алгоритм, полученный путем простой замены операторов дифференцирования и интегрирования в выражении (5.36) конечными разностями и конечными суммами
(здесь
Инкрементная форма цифрового ПИД-регулятора
Довольно часто, особенно в нейросетевых и фаззи-регуляторах, используют уравнение ПИД-регулятора в виде зависимости приращения управляющей величины от ошибки регулирования и ее производных (без интегрального члена). Такое представление удобно, когда роль интегратора выполняет внешнее устройство, например, обычный или шаговый двигатель. Угол поворота его оси пропорционален значению управляющего сигнала и времени. В фаззи-регуляторах при формулировке нечетких правил эксперт может сформулировать зависимость управляющей величины от величины производной, но не может - от величины интеграла, поскольку интеграл "запоминает" всю предысторию изменения ошибки, которую человек помнить не может. Инкрементная форма ПИД-регулятора получается путем дифференцирования уравнения (5.36): ![]() Для получения нулевой ошибки регулирования на выходе инкрементного регулятора должен стоять интегратор (рис. 5.83): ![]() Переходя в полученных выражениях к конечным разностям, получим дискретную форму инкрементного ПИД-регулятора:
где
Более устойчивое и точное разностное уравнение можно получить, подставив в формулу Инкрементная форма регулятора удобна для применения в микроконтроллерах, поскольку в ней основная часть вычислений выполняется с приращениями, для представления которых можно использовать слово с малым количеством двоичных разрядов. Для получения значения управляющей величины можно выполнить накопительное суммирование на финальной стадии вычислений:
|
![]() Располагается на площади 8900 м², оснащено самым современным технологическим оборудованием, имеет научно-исследовательское и конструкторское подразделение, использующие передовые средства автоматизации проектирования. |
|
КОНТАКТЫ
|
© НИЛ АП, ООО, 1989-2023 |
|