|
5.1. Идентификация моделей динамических систем5.1.1. Модели объектов управления5.1.2. Выбор тестовых сигналов5.1.3. Частотная идентификация в режиме релейного регулирования5.1.4. Идентификация в замкнутом и разомкнутом контуре5.1.5. Аналитическая идентификация5.1.6. Методы минимизации критериальной функцииДля выполнения качественного регулирования необходимы знания о динамическом поведении объекта управления. Процесс получения (синтеза) математического описания объекта на основе экспериментально полученных сигналов на его входе и выходе называется идентификацией объекта. Математическое описание может быть представлено в табличной форме или в форме уравнений. Идентификация может быть структурной, когда ищется структура математического описания объекта, или параметрической, когда для известной структуры находят величины параметров, входящих в уравнения модели. Когда ищутся параметры модели с известной структурой, то говорят об идентификации параметров модели, а не объекта. Результатом идентификации может быть импульсная или переходная характеристика объекта, а также соответствующие им спектральные характеристики, которые представляются в виде таблицы (массива). Эти характеристики могут использоваться в дальнейшем для структурной и параметрической идентификации математической модели объекта регулирования или непосредственно для определения параметров ПИД-регулятора (как, например, в методе Зиглера-Никольса, см. раздел "Выбор параметров регулятора"). Несмотря на разнообразие и сложность реальных объектов управления, в ПИД-регуляторах используются, как правило, только две структуры математических моделей: модель первого порядка с задержкой и модель второго порядка с задержкой (см. раздел "Модели объектов управления"). Гораздо реже используются модели более высоких порядков, хотя они могут более точно соответствовать объекту. Существуют две причины, ограничивающие применение точных моделей. Первой из них является невозможность аналитического решения системы уравнений, описывающей ПИД регулятор с моделью высокого порядка (а именно аналитические решения получили наибольшее распространение в ПИД-регуляторах с автоматической настройкой). Вторая причина состоит в том, что при большом числе параметров и высоком уровне шума измерений количество информации, полученной в эксперименте, оказывается недостаточным для идентификации тонких особенностей поведения объекта. Это проявляется в плохой обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит метод наименьших квадратов. Выбор оптимальной модели обычно основан на компромиссе между качеством регулирования и сложностью модели. Для нелинейных процессов и при повышенных требованиях к качеству регулирования разрабатывают модели с индивидуальной структурой, основываясь на физике процессов, протекающих в объекте управления. Если процесс любой сложности аппроксимировать моделью первого порядка с транспортной задержкой (рис. 5.1), то полученные таким способом постоянная времени Идентификация может выполняться с участием оператора, или в автоматическом режиме, а также непрерывно (в реальном времени) - в адаптивных регуляторах, либо по требованию оператора (в регуляторах с самонастройкой), подробнее см. раздел "Автоматическая настройка и адаптация". Теория ПИД-регуляторов хорошо развита для линейных объектов управления. Однако практически все реальные объекты имеют нелинейность типа ограничения управляющего воздействия. Ограничение может быть связано, например, с ограниченной мощностью нагревателя при регулировании тепловых процессов, с ограничением площади сечения перепускного клапана, с ограничением скорости потока жидкости, и т. п. Ограничение "снизу" в тепловых системах связано с тем, что источник тепла не может, как правило, работать в режиме холодильника, когда этого требует закон регулирования. Для минимизации нелинейных эффектов при идентификации объекта в рабочей точке ("в малом") используют малые изменения управляющего воздействия, когда нелинейности системы можно не учитывать. Различают активную идентификацию (с помощью воздействия на систему, которое подается специально с целью идентификации) и пассивную - когда в качестве воздействий используют сигналы, имеющиеся в системе в процессе ее нормального функционирования. В пассивном эксперименте производят только наблюдение за поведением системы в нормальном режиме ее функционирования, пытаясь извлечь из этого наблюдения информацию, достаточную для настройки регулятора. 5.1.1. Модели объектов управленияСуществует два способа получения модели объекта управления: формальный и физический. При формальном подходе используют модель типа "черный ящик", в которой не содержится информация о физических процессах, происходящих в объекте, или о его структуре. Синтез формальной модели сводится к выбору одной из небольшого числа моделей, описанных ниже, и идентификации ее параметров. При физическом подходе модель объекта составляют в виде системы уравнений, описывающих физические процессы в объекте. При этом в качестве параметров модели могут использоваться геометрия объекта, физические параметры материала, фундаментальные физические константы. В физическую модель могут быть добавлены несколько формальных ("подстроечных") параметров, которые необходимо определить экспериментально из условия минимизации погрешности моделирования. Достоинством физических моделей является возможность установления аналитической зависимости между параметрами ПИД-регулятора и физическими параметрами объекта регулирования, например, зависимости постоянной интегрирования от количества яиц в инкубаторе или от количества жидкости в автоклаве. Другим достоинством физических моделей является то, что в процессе построения физической модели в нее вносится информация о структуре объекта. Наличие в модели информации о структуре объекта позволяет лучше отфильтровать помехи и возмущения в процессе подгонки модели к экспериментальным данным методом наименьших квадратов. В отличие от физической, формальная модель справедлива только для того набора параметров, который был получен в процессе ее идентификации. При изменении параметров объекта (например, количества яиц в инкубаторе) идентификацию параметров модели нужно выполнять заново. Модель первого порядкаНаиболее распространенными объектами управления являются системы, описываемые уравнениями тепломассопереноса. Реакция таких объектов (при условии, что они являются линейными по входному воздействию) на ступенчатое входное воздействие имеет задержку
где
Обычно при описании переходных процессов выходную переменную отсчитывают от постоянного уровня
("
Временные характеристики очень сложно использовать при аналитическом анализе и синтезе ПИД-регуляторов. Для этих целей применяют их изображение по Лапласу или Фурье. Изображение по Лапласу переходной функции (5.3) имеет вид
где
Задержка выходной переменной
где
где
Задержка, вызванная естественной инерционностью динамического объекта, точно моделируется дифференциальными уравнениями в частных производных и форма переходного процесса участка задержки является индивидуальной для каждого физического процесса, вызвавшего задержку. Приближенно такая задержка может быть смоделирована путем последовательного соединения нескольких звеньев первого порядка, однако это представление обычно неоправданно сложно. При синтезе ПИД-регуляторов, как правило, используется модель транспортной задержки, которая дает большую погрешность на начальном участке переходной характеристики (рис. 5.1), но является предельно простой. Если же важно получить точную форму колебаний в системе, то используют точные модели задержки. Как видим, модель первого порядка описывается тремя параметрами: Модель второго порядкаЕсли описанная модель первого порядка оказывается слишком грубой, используют модель второго порядка:
Такая модель описывается четырьмя параметрами (
Изображение по Лапласу импульсной характеристики модели второго порядка с задержкой имеет вид
На рис. 5.1 - рис. 5.5 приведены несколько переходных характеристик реальных объектов, снятых в производственном цехе с помощью модуля NL-4RTD, датчика ТСМ-50, ОРС сервера NLopc и программы MS Excel. Погрешность измерений составляет 1 градус, разрешающая способность - 0,01 градус. Экспериментально снятые точки (несколько тысяч) образуют на рисунках сплошную линию, кривая аппроксимирующей модели показана штриховой линией.
Модель в переменных состоянияОписанные модели первого и второго порядка довольно просты. Эта простота позволяет путем несложных графических построений определить их параметры, не прибегая к численным методам минимизации погрешности моделирования. Более точную модель можно получить, если использовать передаточную функцию, содержащую полином не только в знаменателе, но и в числителе. Однако такие модели слишком сложны для аналитического синтеза ПИД-регуляторов, поэтому они используются совместно с численными методами синтеза. При этом предпочтение отдается моделям в форме дифференциальных уравнений, а не в форме передаточных функций. Наиболее распространенной моделью в виде дифференциальных уравнений является система уравнений в переменных состояния. Уравнения в переменных состояния имеют следующий вид:
где
Первое уравнение в (2.1) описывает динамику объекта, а второе (алгебраическое) связывает входные и выходные переменные с внутренними переменными объекта. Внутренние переменные получили название переменных состояния объекта. Уравнения в переменных состояния могут быть преобразованы в форму передаточных функций и обратно. В случае физических моделей переменные состояния отражают реальные переменные в объекте, например, температуру в некоторой точке внутри объекта. Однако чаще эти переменные не имеют физического смысла и служат только для формирования дифференциальных уравнений. В качестве примера приведем матрицы, входящие в уравнение (5.10) для инкубатора "Птичка-100" (рис. 5.5) как объекта управления:
На рис. 5.5-а и рис. 5.5-б сплошной линией показана экспериментально полученная кривая; штриховой линией показана кривая, построенная по модели первого порядка, пунктирной линией - модель в переменных состояния (5.10) с матрицами (5.11); модель третьего порядка в переменных состояния практически сливается с экспериментальными данными. На рис. 5.5-б) показан в увеличенном масштабе начальный участок переходной характеристики.
Модель второго порядка в переменных состояния можно наглядно представить с помощью электрической цепи, показанной на рис. 5.6. В ней напряжения
Полагая Модели интегрирующих процессовВыходная величина некоторых объектов управления при подаче на вход ступенчатого воздействия не стремится к установившемуся значению, как на рис. 5.1 - рис. 5.5-а продолжает изменяться в установившемся режиме. Такие переходные процессы называют интегрирующими. Пример интегрирующего процесса приведен на рис. 5.8. Это зависимость температуры в водонагревателе мощностью 2 кВт от времени после включения нагрева. Поскольку мощность нагревателя очень высока, вода успевает закипеть за время
Передаточная функция такого процесса имеет вид
Другими примерами интегрирующих процессов могут быть: перемещение ленты транспортера; поворот оси двигателя, налив жидкости в емкость, рост давления в замкнутом сосуде.
Передаточные функции для интегрирующих процессов 1-го и 2-го порядка получаются из выражений (5.5) и (5.9) путем их умножения на изображение по Лапласу оператора интегрирования (
График функции (5.15), показан на рис. 5.9. В установившемся режиме, т.е. при Отметим, что моделирование задержки с помощью сдвига функции на величину Приведенные выше модели не позволяют описать нелинейные физические процессы. Пример поведения нелинейного процесса иллюстрируется рис. 5.11, на котором показан график процесса разогрева металлического сплава, покрытого слоем глицерина. Резкое повышение теплоемкости в точке плавления сплава и в точке кипения глицерина являются причиной нелинейностей, которые можно наблюдать на рис. 5.11. Для описания таких процессов линейные модели можно использовать только на линейных участках характеристик.
Кроме описанных выше, существуют объекты с колебаниями во время переходного процесса (например, механические системы с упругими элементами), а также процессы, в которых выходная величина в начальный момент после включения начинает падать, а затем - расти, или наоборот. Такие процессы характерны для паровых котлов высокого давления (эффект "вскипания" поверхности [Ротач]). Применение более сложных моделей позволяет улучшить качество регулирования, однако делает невозможным простой аналитический расчет параметров регулятора на основании параметров модели. Поэтому наибольшее распространение в ПИД-регуляторах нашли простейшие линейные модели первого и второго порядка. Приведенные выше три типа моделей: в форме временных функций, в форме их изображений по Лапласу и в форме дифференциальных уравнений эквивалентны между собой и могут быть преобразованы одна в другую. 5.1.2. Выбор тестовых сигналов
Для идентификации объекта управления необходимо измерять сигнал на его входе Идентификация в пассивном эксперименте привлекательна тем, что не вносит погрешность в нормальное течение технологического процесса, однако ее достоверность крайне низка в принципе [Ротач] и может привести не к настройке, а расстройке ПИД-регулятора. Тем не менее, число патентов по ПИД-регуляторам с пассивной идентификацией равно числу патентов с активной идентификацией [Li]. При проведении активного эксперимента возникает задача выбора формы тестового воздействия. Используют сигналы в форме ступеньки (скачка), в форме прямоугольного импульса, линейно нарастающего сигнала, треугольного импульса, псевдослучайного двоичного сигнала (ПСДС) [Гроп], шума, отрезка синусоиды (частотный метод). Наиболее часто для настройки ПИД-регуляторов используют скачок (рис. 5.12-а), двойной прямоугольный импульс (рис. 5.12-в) и синусоидальный сигнал (рис. 5.12-г).
На рис. 5.12 справа приведены графики зависимости модулей спектральной плотности перечисленных сигналов от частоты (амплитудные характеристики спектра). Тестовое воздействие должно иметь достаточно малую амплитуду, чтобы переходный процесс в объекте оставался в границах линейности. В то же время оно должно быть достаточно большим, чтобы увеличить отношение сигнала к шуму и внешним возмущениям. Перед подачей тестового воздействия объект должен находиться в установившемся состоянии и быть устойчивым. Предположим, что в качестве тестового воздействия для идентификации мы выбрали синусоидальный сигнал (рис. 5.12-г. С увеличением количества периодов Вместо этого можно использовать сигнал, спектральное разложение которого содержит множество гармонических составляющих. Такой сигнал можно подавать на объект идентификации однократно, но в результате получить информацию об объекте в широком диапазоне частот. Спектральную характеристику тестового сигнала необходимо выбирать такой формы, чтобы действующее значение сигнала в любом интервале частот многократно превышало соответствующую величину помехи. Граничная частота спектра тестового сигнала должна быть выше наибольшего по абсолютной величине полюса передаточной функции объекта [Справочник]. Точнее, выше, чем частота единичного усиления Нижняя граница диапазона, в котором необходимо достаточно точно идентифицировать передаточную функцию объекта, должна быть примерно в 10 раз ниже частоты единичного усиления В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 5.13, рис. 5.14 сплошной жирной линией показана амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) объекта с передаточной функцией
где
Ширина спектра и мощность тестового сигнала существенно влияют на точность идентификации. В общем случае более мощные и широкополосные сигналы позволяют определить большее число параметров передаточной функции. Данное утверждение иллюстрируется рис. 5.15, где кривые 2 и 3 представляют собой реакции на прямоугольные импульсы длительностью 60 сек и разной амплитуды. Из рисунка видно, что в формировании импульсной характеристики участвуют, по крайней мере, две ярко выраженные экспоненты с разыми постоянными времени, причем одна из них становится практически неразличимой (а ее параметры - неидентифицируемыми) на фоне помех при малой амплитуде тестового сигнала. Невозможность идентификации части параметров объекта в условиях помех можно пояснить также с помощью рис. 5.6. При
Если идентификация выполняется без остановки технологического процесса (а это наиболее важный для практики случай), то могут существовать ограничения на максимальную мощность, длительность или энергию тестового сигнала, чтобы не нарушать нормальный ход технологического процесса. Например, в инкубаторе допускается подать импульс, кратковременно (на 5 мин.) повышающий температуру до 50˚С, однако повышение температуры даже на 1˚С в течение нескольких часов приводит к гибели зародыша. Поэтому возникает задача выбора тестового сигнала с требуемым спектром при ограничении на его мощность, длительность или энергию. Наилучшую спектральную характеристику тестового сигнала можно получить, усложняя форму сигнала и увеличивая общее время идентификации. Для идентификации быстрых процессов (например, в электромеханических системах) получил широкое распространение псевдослучайный двоичный сигнал [Гроп], имеющий равномерный спектр в ограниченной полосе частот. Однако при управлении тепловыми процессами для ПИД-регуляторов наиболее критическим параметром является быстрота идентификации. Поэтому здесь чаще используют простые сигналы, которые, кроме быстроты идентификации, позволяют использовать простые расчеты по формулам вместо численных методов минимизации функционала ошибки. Конечно, достоверность результата при этом падает. Даже тщательно выполненная идентификация может не дать положительного результата, если окажется, что объект существенно нелинеен (см. рис. 5.11). Для тестирования на линейность объект возбуждают серией тестовых воздействий разной амплитуды. Полученные реакции объекта нормируют на амплитуду тестового сигнала и сравнивают между собой. Для линейных объектов полученные кривые должны совпадать. Если различие между кривыми существенно превышает оценку погрешности идентификации, то объект следует рассматривать как нелинейный и использовать для него методы теории автоматического управления нелинейными системами. После идентификации объекта разность между экспериментальными данными и расчетом по модели дает функцию погрешности идентификации, из которой после удаления систематической составляющей можно найти корреляционную функцию (или спектральную плотность мощности) шума измерений и внешних возмущений. Более точно идентифицировать шум и внешние возмущения можно путем измерения реакции объекта в рабочей точке при стабильном уровне входного воздействия. В теории идентификации в качестве тестовых сигналов часто используют случайные сигналы. Суть метода заключается в том, что на вход объекта подают случайный стационарный тестовый сигнал
Используя обратное преобразование Фурье, можно найти импульсную характеристику объекта управления.
Однако на практике такой метод используют крайне редко, поскольку он требует накопления данных в течение времени, которое примерно в 100 раз превышает время взаимной корреляции шума между входом и выходом объекта [Справочник], что на практике займет неоправданно больше время для медленных (например, тепловых) процессов. Единичный скачокЕдиничный скачок (рис. 5.12-а и рис. 5.13, штрихпунктирная линия), в отличие от других тестовых сигналов, позволяет получить установившееся значение График модуля спектральной плотности единичного скачка спадает со скоростью ‑20 дБ/дек, что делает проблематичным идентификацию самого интересного (начального) участка переходной характеристики (т. е. окрестности частоты Реакции (отклики) объектов первого и второго порядка на единичный скачок отличаются незначительно (рис. 5.16, кривые 1). Это существенно увеличивает погрешность идентификации в условиях помех, поскольку относительная погрешность
где С ростом порядка объекта различимость откликов моделей смежных порядков ухудшается. Это приводит не только к снижению отношения сигнал/шум, но и к ухудшению обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, которую приходится решать при параметрической идентификации моделей высоких порядков методом наименьших квадратов. Прямоугольный импульсПрямоугольный импульс (рис. 5.12-б, -в и рис. 5.17 имеет большую спектральную плотность в области высоких частот, чем скачок (рис. 5.13, штриховая и пунктирная линии). При ограничении на энергию тестового сигнала это позволяет более точно выполнить идентификацию в наиболее важной высокочастотной области. Вторым достоинством прямоугольного тестового импульса является большое различие в реакции объектов первого и более высоких порядков (рис. 5.16, кривые 2 и рис. 5.17), что позволяет улучшить идентифицируемость параметров моделей второго и более высоких порядков по сравнению с применением единичного скачка. После воздействия прямоугольного импульса система возвращается в первоначальное состояние, что уменьшает общее время эксперимента по сравнению с единичным скачком.
Прямоугольный импульс является приближенным аналогом единичного импульса (дельта-функции Дирака), которая имеет равномерную по частоте спектральную плотность. Поскольку единичный импульс физически нереализуем, используют его приближенный аналог - прямоугольный импульс максимально большой высоты и минимальной длительности. Высота импульса на практике всегда ограничена. Для тепловых процессов этой границей обычно является мощность нагревателя. При ограниченной высоте импульса его длительность будет определять отношение сигнал/шум на выходе объекта. Поэтому длительность импульса Необходимость выбора большой высоты прямоугольного тестового импульса является его недостатком, который оказывается существенным при сильных помехах или резких технологических ограничениях на амплитуду входного воздействия. Вторым недостатком прямоугольного импульса является невозможность точной оценки статического коэффициента передачи системы. Разновидностью прямоугольного импульса является двойной прямоугольный импульс (рис. 5.12-в, который по сравнению с одиночным импульсом имеет двойной размах и максимум спектральной функции в области частоты Оба описанных тестовых сигнала позволяют выполнить аналитический расчет параметров модели объекта 1-го или 2-го порядка без применения численных методов оптимизации. Отметим, что, несмотря на то, что импульсную характеристику системы (реакцию на единичный импульс) теоретически можно получить дифференцированием переходной характеристики (реакции на единичный скачок), дифференцирование экспериментально полученной кривой резко ухудшает отношение сигнала к шуму, поскольку оператор дифференцирования эквивалентен фильтру, выделяющему шумы из входных данных. 5.1.3. Частотная идентификация в режиме релейного регулированияИдентификация с помощью широкополосных сигналов, к которым относятся единичный скачок и прямоугольный импульс, не позволяет получить достаточно достоверные результаты в условиях сильных шумов и жестких ограничений на энергию сигнала. Гораздо более высокую точность при малой амплитуде позволяет получить воздействие узкополосным сигналом, в качестве которого используют отрезок синусоидального сигнала (рис. 5.12-г). С ростом числа периодов сужается ширина спектра и растет спектральная плотность такого сигнала на частоте колебаний. Благодаря этому появляется возможность использовать узкополосный фильтр для выделения сигнала на фоне помех, что резко повышает достоверность идентификации. Однако при использовании фильтра перед измерением необходимо дождаться окончания переходного процесса, который тем длиннее, чем выше добротность фильтра. Это существенно увеличивает общее время на проведение экспериментов, тем более, что измерения выполняют для нескольких разных частот. Для ускорения процесса можно использовать тестовое воздействие в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, которые затем выделяют несколькими узкополосными фильтрами. Существенным недостатком этого метода является большое время идентификации. Поэтому его чаще используют только для измерения коэффициента передачи и фазового сдвига на частоте Метод частотной идентификации в замкнутом контуре с релейным регулятором является самым распространенным в коммерческих ПИД-регуляторах с автонастройкой [Bertocco, Astrom, Cai]. Этот метод очень давно известен в микроэлектронике как метод кольцевого генератора. Он использует свойство замкнутой динамической системы с отрицательной обратной связью генерировать незатухающие колебания на частоте фазового сдвига -180˚ при петлевом усилении Основная идея методаРассмотрим систему с отрицательной обратной связью, состоящую из релейного регулятора
Гармонический сигнал, проходя через объект управления, изменяет свою амплитуду и фазу (рис. 5.13, рис. 5.14). Поскольку на входе объекта присутствует шум, в его спектре всегда найдутся такие гармонические составляющие с частотой Таким образом, в рассмотренной системе возникают незатухающие колебания, когда усиление по контуру с обратной связью (петлевое усиление) равно единице на частоте фазового сдвига в объекте 180˚. В нелинейной системе петлевое усиление на малом сигнале может быть больше единицы до момента, когда колебания установятся. В контуре регулирования с идеальным релейным регулятором (рис. 5.18) усиление до начала колебаний равно бесконечности. Поэтому колебания возникают всегда, если фазо-частотная характеристика включает в себя точку со сдвигом фазы 180˚. Большинство объектов управления, не имеющих транспортной задержки, относятся к минимально-фазовым объектам, у которых существует однозначная связь между амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристикой. Объект управления является минимально-фазовым, если его операторная передаточная функция не имеет нулей в правой полуплоскости комплексного переменного. В частности, минимально-фазовыми являются все описанные в п. "Модели объектов управления" модели, если у них транспортная задержка равна нулю.
Обычно АЧХ строят в логарифмическом масштабе по обеим координатным осям и называют диаграммами Боде. При этом наклон линейных участков АЧХ измеряют в децибелах на декаду (дБ/дек). Например, объект первого порядка (5.5) имеет наклон АЧХ -20 дБ/дек (рис. 5.19) и при Из изложенного следует, что система регулирования с объектом первого порядка без транспортной задержки всегда устойчива, даже в контуре с релейным регулятором. Система с объектом второго порядка может быть неустойчивой при Поэтому проектирование объекта управления нужно выполнять совместно с проектированием регулятора для него. Например, некоторые системы термостатирования используют нагревательный элемент в виде тонкой проволочки, через которую продувается воздух. Такая система имеет первый порядок передаточной функции и даже релейный регулятор для нее дает хорошее качество регулирования. Система с объектом первого порядка перестает быть устойчивой, если в передаточную функцию добавляется транспортная задержка. При этом объект перестает быть минимально-фазовым и, несмотря на то, что наклон АЧХ остается равным -20 дБ/дек (рис. 5.19), в системе возникают колебания, поскольку фазовый сдвиг транспортной задержки
Поскольку в реальном объекте вследствие его пространственной протяженности всегда появляется (небольшая) транспортная задержка, в любой системе с релейным регулятором возникают колебания, однако их амплитуда на выходе объекта может быть пренебрежимо малой вследствие резкого снижения коэффициента передачи объекта с ростом частоты (см. рис. 5.19). Таким образом, замкнутый контур с объектом управления и релейным регулятором позволяет найти частоту Если размах прямоугольных импульсов на входе объекта равен
Пример. Рассмотрим АЧХ (рис. 5.13) и ФЧХ (рис. 5.14) объекта второго порядка вида (5.16). Из графика на рис. 5.14 можно найти частоту
Примерно эти же значения можно получить из эксперимента с релейным регулятором, по формуле (5.20), если из графиков на рис. 5.21 найти значения амплитуды на выходе Для объекта первого порядка с транспортной задержкой Важным условием, которое нужно соблюдать при использовании идентификации в режиме релейного регулирования, является симметричность уровней Аналогичный эффект искажения формы колебаний возникает и в системах более высокого порядка, если транспортная задержка превышает наибольшую постоянную времени. С ростом задержки колебания становятся сначала треугольными, затем приближаются к трапецеидальным и прямоугольным. Это объясняется тем, что с ростом транспортной задержки реакция объекта на каждый из фронтов сигнала на выходе реле приближается к форме реакции на функцию единичного скачка (рис. 5.17). В частотной области указанный эффект объясняется тем, что с ростом задержки точка
Для иллюстрации высокой разрешающей способности описанного метода на рис. 5.24 приведены процессы в двух моделях, у которых переходные характеристики различаются слабо, однако частоты колебаний в контуре с релейным регулятором отличаются в 4 раза. Благодаря узкой полосе сигнала он может быть эффективно выделен на фоне шумов (рис. 5.25), например, методом наименьших квадратов. Описанный метод частотной идентификации позволяют получить только одну точку передаточной функции объекта, т.е. два параметра, которых недостаточно для нахождения трех параметров ПИД-регулятора. Поэтому используют дополнительное соотношение Чтобы получить и другие точки АЧХ, используют реле с гистерезисом или фильтры, сдвигающие точку Рассмотрим эти методы подробнее. Изменение частоты колебаний с помощью интегратораДля того чтобы в системе с релейным регулятором возникли колебания на частоте, существенно отличающейся от
Модуль передаточной функции интегратора имеет наклон - 20 дБ на декаду, а фазовый сдвиг не зависит от частоты и равен -90˚. Поэтому колебания в системе возникают на частоте
где
Формула (5.22) дает довольно точные результаты. Для системы 2-порядка (5.16) расчет по формуле (5.22) на основании данных, полученных при моделировании системы, дает значения Изменение частоты колебаний с помощью генератораДля исключения погрешности формулы (5.20), связанной с усечением ряда Фурье, в работе [Wang] предлагается вместо интегратора на рис. 5.26 использовать генератор синусоидальных колебаний с амплитудой, равной амплитуде первой гармоники прямоугольных импульсов на входе реле:
где
Изменение частоты колебаний с помощью гистерезисаЕсли в системе на рис. 5.26 использовать реле с гистерезисом, то частоту колебаний можно понизить. Объясняется это тем, что при подаче сигнала на вход реле с симметричным относительно нуля гистерезисом шириной Более подробное рассмотрение процессов в системе с гистерезисом можно найти в работе [Гёльднер]. Недостатком двух последних методов, позволяющих получить точки между Определение порядка объектаМетоды, описанные выше, дают достаточно информации, чтобы оценить в некоторых случаях порядок объекта управления. Пусть объект описывается передаточной функцией
Предположим, что в (5.24) все постоянные времени дают частоты, которые много меньше частоты
Тогда в окрестности частоты
Если с помощью описанных выше методов удалось получить две точки АЧХ (
Частота
Недостатком данного метода является то, что в случае, когда передаточная функция объекта имеет нули, описанный метод дает разность порядков знаменателя и числителя, но не порядок знаменателя. Заключительные замечанияОписанный выше метод релейной идентификации и его модификации являются в настоящее время самыми распространенными в ПИД регуляторах с автоматической настройкой. Это объясняется следующим достоинствами метода:
Метод обладает следующими недостатками:
5.1.4. Идентификация в замкнутом и разомкнутом контуреИдентификацию можно выполнять в замкнутом контуре с обратной связью, или в разомкнутом. Идентификация в замкнутом контуре может быть прямой и косвенной. При косвенной идентификации измеряется тестовый сигнал и отклик на него системы с обратной связью, затем путем вычислений по уравнениям системы находится передаточная функция объекта управления. При прямой идентификации передаточная функция объекта находится по измерениям сигналов непосредственно на его входе и выходе. Если в качестве идентифицирующих воздействий выбирают искусственно созданные возмущения, то такая идентификация называется активной. Если используют сигналы, которые всегда существуют в системе в нормальном режиме ее функционирования, такая идентификация называется пассивной. Для дальнейшего изложения нам потребуются уравнения замкнутой системы с ПИД-регулятором. Базовая структура системы показана на рис. 5.27. Здесь В системе на рис. 5.27 три входа (три источника сигналов):
Заметим, что в (5.27) и далее все переменные являются изображениями по Лапласу соответствующих временных функций,
Идентификация в разомкнутом контуреДля идентификации в разомкнутом контуре на объект
Процесс идентификации состоит в том, что на вход объекта подают тестовые воздействия Идентификация в разомкнутом контуре является наиболее предпочтительной, поскольку в этом случае отсутствует возможность случайного вывода системы за границы устойчивости. Кроме того, идентификация в разомкнутом контуре позволяет выбрать оптимальные тестовые воздействия, чего нельзя сделать в замкнутом контуре, где спектральная функция входного воздействия на объект управления формируется динамикой контура, независимо от требований экспериментатора. Идентификация в разомкнутом контуре наиболее широко представлена в коммерческих ПИД-регуляторах [Bertocco, O'Dwyer]. Прямая пассивная идентификация в замкнутом контуреЗадача прямой идентификации в замкнутом контуре состоит в нахождении параметров объекта управления Принципиальная возможность пассивной идентификации является предметом споров. В частности, в работе [Ротач] приводятся убедительные аргументы о невозможности пассивной идентификации, однако число патентов на ПИД регуляторы с пассивной идентификацией непрерывно растет нарастающими темпами [Li]. Не вызывает сомнений только то, что достоверность пассивной идентификации существенно ниже, чем активной. Рассмотрим причины этого. Первая причина состоит в том, что функция спектральной плотности мощности внешних возмущений в реальных объектах быстро спадает с ростом частоты (аналогично шуму Вторая причина [Изерман, Ротач] касается выбора измеряемых сигналов. Предположим, что ![]() Поскольку целью идентификации является нахождение передаточной функции объекта ![]() Таким образом, передаточную функцию объекта невозможно получить, измеряя Однако пассивная идентификация становится возможной, если в качестве тестового сигнала использовать сигнал уставки Итак, выберем
т.е. прямая пассивная идентификация объекта по сигналам на его входе и выходе позволяет найти передаточную функцию объекта, если в качестве тестового воздействия используется изменение сигнала уставки
Косвенная идентификация в замкнутом контуреДля косвенной идентификации тестовое воздействие подают на вход системы
Шумы измерений
Как видим, для косвенной идентификации необходимо знать передаточную функцию регулятора Косвенная идентификация обычно мало эффективна [Изерман] и она требует выполнения условий идентифицируемости в замкнутом контуре, которые выполняются не всегда [Штейнберг, Изерман, Справочник]. Прямая активная идентификация в замкнутом контуреПрямая активная идентификация выполняется точно так, как прямая пассивная с сигналом 5.1.5. Аналитическая идентификацияПосле того, как найдена передаточная функция объекта управления или его импульсная (или переходная) характеристика, возникает задача определения параметров модели объекта управления. Существует два подхода к решению этой задачи: аналитический (по формулам) и с помощью численных методов оптимизации. Преимуществом аналитической идентификации является низкая вычислительная сложность, что позволяет использовать ее в ПИД-регуляторах с маломощными контроллерами, но она позволяет идентифицировать параметры только очень простых моделей. Идентификация численными методами используется в универсальных программных пакетах, которые продаются независимо от ПИД-регуляторов и применяются для их настройки с помощью персональных компьютеров. Идентификация модели первого порядка по средней длительности переходного процессаВ случае, когда переходный процесс описывается моделью первого порядка с задержкой (5.1), его длительность нельзя характеризовать одним параметром "постоянная времени", как для процессов без задержки. Поэтому используется понятие "средняя длительность переходного процесса" (average residence time [Astrom]) которое определяется как
где
Используя понятие средней длительности переходного процесса, можно сформулировать один из вариантов критерия, при котором кривые объекта и модели первого порядка (5.3) можно считать приблизительно совпадающими. Это условие состоит в пересечении переходных характеристик модели и объекта на уровне Для определения
Коэффициент График переходного процесса идентифицированной описанным способом модели (5.3) при Поскольку из рис. 5.29 следует, что тангенс наклона касательной равен Метод двойного прямоугольного импульсаМетод аналитической идентификации по характерным точкам реакции объекта на двойной прямоугольный импульс хорош тем, что после окончания тестового воздействия система переходит в исходное состояние, а также тем, что этот метод требует мало времени, поскольку после прохождения откликом минимума (рис. 5.30) эксперимент можно считать законченным. На кривой отклика системы на двойной прямоугольный импульс находят точку максимума и минимума. Зная координаты этих точек (см. рис. 5.30), можно найти все параметры модели первого порядка с задержкой по следующим формулам [Astrom]:
Смысл использованных здесь обозначений понятен из рис. 5.30;
Для вывода этих формул [Astrom] нужно по рис. 5.30 записать выражения для точек максимума и минимума, зная, что реакция системы 1-го порядка на скачок имеет вид (5.1) и учитывая, что для системы первого порядка ![]() ![]() ![]() ![]() Далее, решая полученную систему уравнений относительно неизвестных Недостатком метода является невозможность точного определения коэффициента передачи объекта в статике Использование результатов частотной идентификацииВеличины ![]() Если параметр
Транспортную задержку
К сожалению, все формулы из этого раздела получены только для модели 1-го порядка. Аналогичные выражения для моделей более высокого порядка аналитически получить не удается или они оказываются чрезмерно громоздкими. Поэтому для идентификации параметров моделей более высоких порядков используют численные методы оптимизации (минимизации).
5.1.6. Методы минимизации критериальной функцииОписанные методы расчета параметров моделей по формулам удобны тем, что идентификация выполняется очень просто и может быть реализована в маломощном микропроцессоре. Однако их существенными недостатками являются:
Более качественные результаты могут быть получены при использовании численных методов оптимизации. Для их выполнения составляется критериальная функция
где В случае, когда шум имеет не нормальное распределение, квадратичный критерий (5.34) не дает максимально правдоподобную оценку параметров искомой функции. Например, для распределения Лапласа оптимальной критериальной функцией будет сумма модулей отклонений [Цыпкин]. Однако в подавляющем большинстве практически важных случаев шум оказывается распределенным по нормальному закону. Результаты измерений отклика объекта на тестовые воздействия содержат как высокочастотные шумы, так и низкочастотные возмущения, лежащих в той же области спектра, что и полезный сигнал. Высокочастотные шумы легко убрать с помощью цифрового фильтра или в процессе минимизации критериальной функции (5.34). Однако, если время автокорреляции внешних возмущений сравнимо с длительностью измерений, то для каждого нового эксперимента мы будем получать различные параметры модели объекта. К сожалению, данная проблема не может быть решена статистическими методами при жестких требованиях к быстроте идентификации в ПИД-регуляторах. Только увеличение амплитуды тестового воздействия, компенсация внешних возмущений и корректировка результатов эксперимента в соответствии с условиями его проведения могут увеличить достоверность полученных данных. Для того, чтобы учесть различную ценность информации на разных участках переходного процесса, в выражения для критериальной функции вводят весовую функцию
Для выбора вида Отметим, что близость функций не гарантирует близости их производных С помощью критериальной функции задача параметрической идентификации сводится к задаче нахождения параметров модели При решении задачи минимизации критериальной функции возникает ряд численных проблем, часто связанных с плохой обусловленностью системы линейных уравнений, наличием нескольких минимумов и овражным характером критериальной функции (рис. 5.32). Поэтому традиционный метод наименьших квадратов (МНК) часто не позволяет получить решение задачи при попытке найти параметры моделей высокого порядка при малом количестве информации в исходных данных. Решению этих проблем посвящено множество книг и статей. Хорошие результаты дает метод сингулярной декомпозиции матриц (SVD) [Numerical] в сочетании с многошаговыми методами интегрирования дифференциальных уравнений [Ljung, Ljung], а также разновидности метода Монте-Карло. При поиске глобального минимума хорошие результаты дают генетические алгоритмы [Гладков].
|
Располагается на площади 8900 м², оснащено самым современным технологическим оборудованием, имеет научно-исследовательское и конструкторское подразделение, использующие передовые средства автоматизации проектирования. |
|
КОНТАКТЫ
|
© НИЛ АП, ООО, 1989-2025 |
|