|
4.2. Многократные измерения4.2.1. Повышение точности путем усреднения результатов измерений4.2.2. Точность и продолжительность измеренийОдной из наиболее распространенных операций, выполняемых в системах сбора данных и управления, является усреднение результатов многократных измерений. Интуитивно ясно, что этот процесс приводит к повышению точности, поскольку результаты отдельных измерений имеют как положительные, так и отрицательные отклонения от точного значения и поэтому частично взаимно компенсируются. С ростом числа измерений среднее значение отрицательных отклонений приближается по модулю к среднему значению положительных отклонений и точность их взаимной компенсации улучшается. Для практики важно получить количественную зависимость между числом измерений и погрешностью усредненного результата. 4.2.1. Повышение точности путем усреднения результатов измеренийРассмотрим некоторое средство измерений, например, измерительный модуль аналогового ввода NL-8AI для измерения и ввода в компьютер значений напряжения
Указанные причины приводят к тому, что результат измерения становится случайной величиной, значение которой изменяется от измерения к измерению. Случайная величина Погрешность средства измерений определяется изготовителем и указывается в эксплуатационной документации. В величину погрешности входит как систематическая, так и случайная составляющая. Если случайная составляющая превышает 10% от систематической, то она указывается отдельно (ГОСТ 8.009 [ГОСТ]). В некоторых случаях случайная составляющая указывается с помощью автокорреляционной функции или спектральной плотности мощности. Случайная составляющая погрешности может быть снижена путем усреднения результатов многократных измерений. Если в составе погрешности преобладает систематическая компонента, то усреднение не приводит к повышению точности. О наличии случайной составляющей можно судить по рассеянию результатов однократных измерений. Предположим, что с помощью измерительного модуля выполнено
Однако
Будем считать, что результаты измерений
откуда
поскольку
В (4.40) использованы два свойства оператора дисперсии: а) дисперсия произведения случайной величины и константы равна дисперсии случайной величины, умноженной на квадрат константы и б) дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий каждой из них [Гмурман]. Кроме того, считается, что все измерения выполнены одним и тем же прибором, т.е. дисперсии всех измерений одинаковы и равны Докажем первое из использованных свойств. По определению дисперсии
Поэтому, умножая
Докажем теперь, что дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий. Для этого сначала докажем, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.
Сумма случайных величин
Выведем еще вспомогательное равенство, связывающее дисперсию случайной величины с математическим ожиданием. Пользуясь определением дисперсии (4.42), получим: Поскольку
Пользуясь соотношениями (4.43) и (4.44), получим дисперсию суммы двух случайных величин в виде
Итак, усреднение Во-первых, усреднение дает эффект только для случайной составляющей погрешности. Погрешность измерений перестает уменьшаться, когда Во-вторых, результаты измерений должны быть статистически независимы, т.е. интервал времени между соседними измерениями должен быть много больше времени автокорреляции случайной погрешности. Посмотрим на рис. 4.5: если при белом шуме средние значения за интервал времени В частности, требование статистической независимости измерений не выполняется также в случае, когда действует искусственная помеха, делающая шум цветным (коррелированным), например, помеха от сотового передатчика на крыше здания, от радиотелефона, из сети 50 Гц, от сварочного аппарата, от молнии, от внутренних генераторов измерительного прибора, от электродрели и т. п. В этих случаях усреднение также ослабляет помеху, но уже не в Описанный эффект имеет место только для тех законов распределения случайной величины, для которых существует понятие среднего и среднеквадратического отклонения. Например, для распределения Коши интегралы, дающие названные определения, расходятся [Косарев]. Особо следует отметить, что как систематическая, так и случайная составляющая погрешности средств измерений являются случайными величинами. Однако между ними имеется принципиальное различие. Систематическая погрешность является случайной на множестве средств измерений, но детерминированной для каждого образца из множества. Поэтому систематическую погрешность невозможно уменьшить путем многократных измерений одним и тем же прибором, но можно уменьшить, усредняя результаты, полученные измерением с помощью множества средств измерений одного типа. Случайная же погрешность является случайной на множестве результатов измерений одним и тем средством измерений и поэтому ее можно уменьшить путем усреднения результатов многократных измерений. В отличие от погрешности, разрешающая способность не зависит от величины систематической погрешности и поэтому может быть увеличена существенно. Она может стать даже меньше величины младшего значащего разряда АЦП при условии, если стабильность его уровней позволяет это сделать. На этом эффекте основан принцип действия дельта-сигма АЦП. Если в паспорте на средство измерения не указана величина случайной составляющей погрешности, ее можно оценить по результатам измерений [Орнатский]:
где коэффициент
Вопросам повышения точности путем многократных измерений посвящен ГОСТ 8.207-76 [ГОСТ]. 4.2.2. Точность и продолжительность измерений
При использовании описанной выше процедуры усреднения результатов измерений никак не учитывалось, за какое время выполняется серия измерений, поскольку предполагалось, что погрешность является некоррелированным (белым) шумом. Ниже будут рассмотрены эффекты, которые возникают в реальных условиях, когда шум измерений является цветным. Попутно станет ясно, почему точные измерительные приборы работают медленно. Измерительные каналы средств автоматизации обычно являются частью систем, компоненты которых распределены в пространстве и соединены между собой кабельными линиями. Поэтому на них воздействует весь спектр помех, имеющихся в конкретной электромагнитной обстановке. Основными компонентами случайной погрешности, вызванной помехами, являются белый шум, фликкер (1/f) шум и относительно узкополосные помехи от работающего электрооборудования, передатчиков и естественных источников электромагнитного излучения. Пример одной реализации белого шума (некоррелированной погрешности измерения) показан на рис. 4.5, внизу. Характерной его особенностью является то, что при изменении масштаба по оси времени внешний вид графика не изменяется, уменьшается только среднеквадратическое значение шума вследствие уменьшения ширины временного окна наблюдения. В отличие от этого, график реализации коррелированного шума изменяет свой внешний вид в зависимости от ширины окна наблюдения (рис. 4.5, вверху). Коррелированный шум с заданной автокорреляционной функцией можно получить из белого, пропустив его через фильтр с заранее рассчитанной передаточной характеристикой. Многократные измерения с усреднением всегда выполняются на конечном интервале времени Если же этот интервал усреднения Поскольку в реальных измерениях всегда присутствует, по крайней мере, фликкер-шум (что является фундаментальным законом природы [Букингем]), который делает шум измерений отличным от белого, то усреднение измерений не может снизить случайную составляющую погрешности до нуля. Кроме того, в цифровых средствах измерений всегда присутствует помеха с частотой тактового генератора, которая придает окраску белому шуму.
Предположим, что измерения выполняются в течение конечного промежутка времени Найдем среднеквадратическое отклонение погрешности Измерение будем выполнять в моменты времени
где
Функцию
где сначала использована замена переменной
Полученное выражение можно записать в виде
где
Таким образом, процесс усреднения можно рассматривать как прохождение случайного процесса через усредняющий фильтр с передаточной характеристикой (4.49). Поскольку вследствие симметрии Фурье изображений в (4.48) относительно оси ординат
откуда
Пользуясь определением спектральной плотности мощности (4.15), из последнего выражения получим
где
Рассмотрим передаточную функцию усредняющего фильтра (4.49). Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии
Пользуясь соотношением
Выражение (4.54) является передаточной функцией цифрового sinc-фильтра [Сергиенко], т. е. усреднение измерений, полученных в
Дисперсию погрешности измерений можно найти, интегрируя спектральную плотность мощности погрешности по всей полосе частот, от 0 до
Это выражение справедливо для погрешности с любой спектральной плотностью. Предположим сначала, что погрешность является белым шумом, т.е.
откуда
Это выражение совпадает с ранее полученным выражением (3.2), поскольку использовано предположение о преобладании белого шума. Таким образом, усреднение
Предположим теперь, что случайная составляющая погрешности измерений обусловлена смесью белого шума со спектральной плотностью
Найдем частоту
При Многократные измерения можно рассматривать как процесс дискретизации шума. Поскольку согласно теореме Котельникова для сохранения информации в дискретизированном сигнале частота отсчетов должна быть не менее удвоенной верхней частоты спектра сигнала, а шум имеет неограниченный спектр, то условие теоремы не выполняются и спектр шума после дискретизации будет сильно искажен вследствие алиасного эффекта. Однако, благодаря некоррелированности белого шума его отсчеты в любые моменты времени будут некоррелированы между собой, т.е. при дискретизации белого шума получается также белый шум. Наложение спектров вследствие алиасного эффекта также не придает окраску белому шуму, поскольку белый шум описывается функцией Спектр фликкер-шума после дискретизации в общем случае будет сильно искажен и будет представлять собой сумму сдвинутых друг относительно друга спектров исходного шума (см. раздел "Алиасные частоты, антиалиасные фильтры" и формулу (4.97)). Однако, чтобы упростить анализ, воспользуемся тем, что в области частот
где
Нормируем значение
При белом шуме эффективность усреднения не зависит от ширины усредняющего окна, а зависит только от количества отсчетов (4.57). При наличии фликкер-шума эффективность усреднения начинает зависеть от ширины временного окна Из вышеизложенного можно сделать следующие выводы.
|
Располагается на площади 8900 м², оснащено самым современным технологическим оборудованием, имеет научно-исследовательское и конструкторское подразделение, использующие передовые средства автоматизации проектирования. |
|
КОНТАКТЫ
|
© НИЛ АП, ООО, 1989-2025 |
|