|
4.3 Динамические измерения4.3.1. Теорема Котельникова4.3.2. Фильтр и динамическая погрешность4.3.3. Sinc-фильтр в измерительных модулях ввода4.3.4. Алиасные частоты, антиалиасные фильтрыИзмеряемые физические параметры обычно изменяются с течением времени, поэтому для оценки точности измерений необходимо знать, как зависит погрешность измерений от динамических характеристик измеряемой величины, т.е. какова динамическая компонента погрешности измерений. В пользовательской документации на устройства аналогового ввода, как правило, отсутствует информация, необходимая для оценки динамической погрешности (импульсная, переходная, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристика, амплитудно-фазовая или передаточная функция). Несмотря на то, что динамическая погрешность очень часто в несколько раз превышает статическую, ее редко принимают во внимание, поскольку измерить величину этой погрешности технически достаточно сложно и необходимые для этого приборы часто отсутствуют. Второй проблемой, которая имеет место при вводе аналоговой информации в компьютер или контроллер, является появление алиасных (ложных) частот, которые снижают точность измерений. Опасность этого явления заключается в том, что помехи, лежащие гораздо выше частоты дискретизации, могут трансформироваться в низкочастотную область, если в измерительном канале неправильно выбран или отсутствует антиалиасный фильтр. Антиалиасный фильтр необходим для уменьшения помех на входе средства измерений, однако его наличие приводит к возникновению динамической погрешности. Ниже описываются причины возникновения динамической погрешности и пути ее оценки. 4.3.1. Теорема КотельниковаВ системах автоматизации самой распространенной операцией является дискретизация сигнала по времени. Выбор частоты дискретизации опирается на теорему Котельникова, которая распространяется на любые сигналы с ограниченным спектром. Если спектр сигнала ограничен частотой Отметим несколько особенностей применения теоремы. Во первых, в теореме Котельникова предполагается, что сигнал
где
Во-вторых, сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную протяженность во времени, а реальные сигналы, ограниченные во времени, имеют неограниченный частотный спектр, поэтому разложение их в ряд Котельникова требует пренебрежения частью спектра, лежащего выше частоты В-третьих, теорема Котельникова предполагает, что при дискретизации сигнала использованы импульсы бесконечно малой длительности. Указанные факторы являются причиной того, что на практике частоту дискретизации выбирают в несколько раз выше, чем требуется в соответствии теоремой Котельникова. Теорема Котельникова позволяет оценить предельную пропускную способность измерительного канала с известной полосой пропускания 4.3.2. Фильтр и динамическая погрешностьИзмеряемая величина в системах автоматизации обычно не является постоянной во времени. Поэтому возникает вопрос, насколько медленно она должна изменяться, чтобы погрешность измерения не превышала заданного значения. Для ответа на этот вопрос используется понятие динамической погрешности. Нормированию динамических погрешностей уделено недостаточно внимания как в нормативной литературе, так и в эксплуатационной документации средств измерений. Так, динамические характеристики, необходимые для оценки динамической погрешности. как правило, отсутствуют в пользовательской документации на модули аналогового ввода, за редким исключением (например, модули аналогового ввода RealLab! серии NL типа NL-8AI содержат необходимую информацию). Оценка величины динамической погрешности является сравнительно сложным процессом. Проблема возникает потому, что динамическая погрешность зависит не только от динамической модели измерительного канала, но и от формы измеряемого сигнала. Основными источниками динамической погрешности являются естественная инерционность физических процессов, протекающих в датчиках, процессы заряда входной емкости измерительного устройства, инерционность фильтров, использованных для устранения алиасного эффекта и подавления помех в измерительном канале.
В некоторых случаях, например, когда уравнения динамической модели пользователю известны, могут быть заданы только коэффициенты уравнений, постоянные времени, время реакции (время установления), коэффициент демпфирования, полоса пропускания по уровню 0,707 и др. Для модулей аналогового ввода может быть также задана погрешность положения отсчета измеряемого сигнала на оси времени. Рассмотрим типовую динамическую модель измерительного канала (рис. 4.9), которая включает в себя модели датчика При проектировании системы автоматизации динамические характеристики ее звеньев можно выбрать так, что инерционность всего измерительного канала будет определяться инерционностью самого медленного звена. Это существенно упрощает процесс оценки величины динамической погрешности. Например, при измерении температуры самым инерционным звеном должен быть датчик (инерционность термопар характеризуется постоянной времени десятки секунд и намного превышает инерционность модуля ввода (доли секунды)).
Многоканальные средства измерений бывают двух типов: с коммутацией источников сигнала и с параллельно работающими каналами. В первом случае на входе модуля ввода используется аналоговый коммутатор (рис. 4.9), во втором случае коммутатор не используется, а многоканальность достигается применением нескольких одинаковых каналов с одновременно работающими АЦП. В системе с параллельно работающими каналами можно считать, что сигнал на входе средства измерений действует неограниченно долго. При коммутации каналов сигнал объекта измерений Измерение при синусоидальном сигналеРассмотрим сначала случай, когда входной (измеряемый) сигнал изменяется по синусоидальному закону: и погрешности фазы (рис. 4.10) Наиболее простые соотношения для оценки указанных погрешностей получаются для случая, когда динамику измерительного канала можно представить моделью первого порядка (фильтром первого порядка):
где
Поскольку погрешность средств измерений в системах автоматизации, как правило, не превышает 1%, в приведенных соотношениях можно считать
Например, если модуль ввода имеет граничную частоту
Отметим, что оценки (4.65) относятся только к погрешности амплитуды и фазы синусоидального сигнала, но не к погрешности отдельных его отсчетов. Наибольшая погрешность измерения входного сигнала как функции времени будет при
где
Таким образом, для получения динамической погрешности величиной 0,1% при измерении отсчетов синусоидального сигнала в моменты времени
Измерение при входном сигнале "единичный скачок"Если входной сигнал изменяется скачком, то для измерительного канала, который описывается моделью первого порядка (4.64) и не содержит коммутатора, реакцию на скачок можно получить с помощью преобразования Лапласа. Для этого в выражении (4.64) можно вместо
где
Поскольку точное значение единичного скачка
Например, для получения относительной динамической погрешности 1% измерение нужно делать не раньше чем через
Измерение сигнала произвольной формыВ случае, когда измеряемый сигнал имеет произвольную форму
где
Импульсная характеристика
К сожалению, более простого выражения не существует и интегралы (4.70) и (4.71) нужно брать для каждой конкретной формы входного сигнала
Однако для многоканальной системы сбора данных с одним АЦП и коммутацией входных каналов (рис. 4.9) получить приближенное выражение для динамической погрешности в общем случае, независимо от формы сигнала на входе системы, возможно. Для этого воспользуемся тем, что отсчеты входного сигнала в системах сбора данных берутся обычно так часто, что при разложении функции
Максимальную погрешность такой аппроксимации можно оценить по величине третьего члена ряда Тейлора
Рассмотрим сначала случай с фильтром первого порядка, когда передаточная функция
Подставляя (4.74) и (4.72) в (4.70), получим выражение для функции
Вычитая из полученного выражения сигнал на входе
Таким образом, при достаточно большом
Пользуясь выражением (4.76), можно записать выражение для приведенной погрешности
где
Из этой формулы виден физический смысл параметра
Отметим, что при Графики зависимости модуля динамической погрешности от времени, построенные по выражению (4.77) при
то можно сказать, что скорость нарастания входного сигнала
Аналогичное соотношение можно получить для фильтра второго порядка с передаточной функцией Выражение для приведенной погрешности будет иметь вид
При
Можно показать, что для фильтра Таким образом, для многоканальной системы сбора данных с одним АЦП и коммутацией входных каналов (рис. 4.9) динамическая погрешность измерений не зависит от формы измеряемого сигнала и ее величину можно оценить по графику на рис. 4.125 или формуле (4.77).
4.3.3. Sinc-фильтр в измерительных модулях вводаВ системах автоматизации обычно используют режекторные фильтры для ослабления помехи с частотой 50 Гц, проникающей из сети питания. Такой фильтр, как правило, входит в состав микросхемы АЦП, откуда следует требование к простоте его реализации. Наиболее популярным для этих целей оказался sinc-фильтр (sinc, sinc Структура цифрового sinc-фильтра представлена на рис. 4.126. Он состоит из двух каскадов: первый каскад - до ключа
Первый каскад фильтра выполняет суммирование входных отсчетов, второй каскад выполняет функцию вычитания из поступившей на его вход суммы предыдущей суммы отсчетов (суммы, полученной на предыдущем такте Непосредственно по рис. 4.126 можно записать передаточную функцию одного звена с блоком задержки
Аналогично, для одного звена с блоком
Здесь в показателе степени стоит произведение
Поскольку в фильтре использовано
Здесь в знаменателе использован нормирующий множитель
Для перехода к сумме в (4.84) использована формула суммы членов геометрической прогрессии
Поскольку по правилам преобразования Фурье задержка оригинала на Подставляя это значение в (4.84), получим Фурье-изображение передаточной функции sinc-фильтра в виде
Выполнив такие же преобразования, как и в (4.53)-(4.54), получим выражение для передаточной функции sinc-фильтра в виде
Для упрощения аналитических выкладок с sinc-фильтром его передаточную функцию упрощают путем разложения знаменателя (4.86) в ряд Тейлора с отбрасыванием всех членов, кроме первого:
Это приближение выполняется достаточно точно, поскольку обычно частота дискретизации гораздо выше частот, на которых используется sinc-фильтр:
Поскольку при
Рассмотрим принцип действия фильтра во временной области. Для упрощения будем считать Поэтому sinc-фильтр можно представить как окно, движущееся вдоль оси времени и усредняющее попадающие в него При ширине окна, равном периоду помехи синусоидальной формы (например, помехи с частотой сети 50 Гц), среднее значение за период равно нулю. Этим объясняется подавление (режекция) sinc-фильтром помехи с частотой 50 Гц. Практически коэффициент ослабления определяется частотой отсчетов, разрядностью АЦП, погрешностью и стабильностью частоты тактового генератора фильтра. Например, ослабление sinc-фильтром помехи с частотой 50 Гц в модулях RealLab! серии NL составляет -120 дБ, см. также руководство по эксплуатации модулей серии NL (pdf 1,2 Мб). При постоянной частоте отсчетов На рис. 4.129 показана реакция sinc-фильтров на линейно нарастающий сигнал (см. рис. 4.124). Как видим, линейно нарастающий сигнал проходит через фильтр с задержкой; возникающая при этом погрешность при Например, для получения динамической погрешности, равной 0,05% для sinc
4.3.4. Алиасные частоты, антиалиасные фильтры
Первой неожиданностью, с которой обычно сталкиваются те, кто первый раз начал собирать данные в компьютер, является появление низкочастотной помехи, которой нет в реальном процессе и которой, казалось бы, не должно быть в собранных данных. Помеха может иметь форму периодического сигнала (сплошная кривая на рис. 4.130-а или напоминать сигнал с амплитудной модуляцией (рис. 4.130-б, в). В реальности такой помехи нет, она появляется только после дискретизации сигнала, поэтому ее называют ложной или алиасной (от английского "alias" - "вымышленный"). Алиасные помехи увеличивают погрешность измерительных каналов. Аналогичные эффекты проявляются и в других областях человеческой деятельности как биения колебаний, интерференция, стробоскопический эффект, муар и т. п. Принцип образования помехи с алиасной частотой иллюстрируется рис. 4.130-а. Здесь пунктирной линией показан дискретизируемый периодический сигнал с периодом При дискретизации с высокой частотой, когда шаг дискретизации много меньше периода колебаний (таким образом дискретизирован первый период синусоидального сигнала на рис. 4.130-а), дискретизированный сигнал качественно не отличается от исходного, если пренебречь погрешностью дискретизации. Если же шаг дискретизации приближается к периоду исходного сигнала, то, как показано сплошной линией на рис. 4.130-а, после дискретизации получается сигнал, по форме похожий на исходный, но с гораздо большим периодом. Период стремится к бесконечности при
Аналогичный эффект, состоящий в появлении новых компонент спектра в низкочастотной области возникает и при дискретизации функций произвольной формы. Рассмотрим этот эффект подробнее. Пусть имеется непрерывный сигнал
где
В отличие от дельта-функции Дирака, она не стремится к бесконечности при
Найдем спектр сигнала
где
Найдем коэффициенты
Знак суммирования в последнем выражении отсутствует потому, что за пределами интервала интегрирования
Для того, чтобы найти интеграл (4.91), представим игольчатую функцию как предел, к которому стремится прямоугольный импульс шириной
Тогда из (4.91) получим
Если ширина импульса стремится к нулю, то
Используя это выражение, ряд Фурье для
Подставляя полученное выражение в (4.88), получим
Здесь функция
Найдем теперь спектральную плотность
где
Таким образом, спектр дискретного сигнала
На рис. 4.132-а показан график непрерывного сигнала После дискретизации функции Предположим, что вся полезная информация, содержащаяся в непрерывном сигнале, заключена в области от 0 до частоты Если же ближайшая копия спектра приблизится к оригиналу настолько, что внесет искажения в его форму, (см. рис. 4.132-г), то восстановить исходный сигнал становится невозможно. Поэтому для исключения наложения спектров частота дискретизации Спектр произвольного непрерывного сигнала, показанный на рис. 4.132-а, в общем случае является неограниченным. Поэтому копии спектров, появляющиеся после дискретизации, всегда частично перекрываются. Это является причиной потери информации при восстановлении сигнала. И только для сигнала с ограниченным спектром эффект наложения отсутствует, что позволяет восстановить сигнал без потери информации. Описанный алиасный эффект не может быть устранен с помощью цифровой фильтрации, если частота дискретизации равна удвоенной частоте верхней границы спектра полезного сигнала, т. к. при этом в спектре дискретизированного сигнала будет потеряна информация о помехах. Для решения этой проблемы можно использовать аналоговый (антиалиасный) фильтр с граничной частотой В модулях аналогового ввода антиалиасный фильтр обычно настроен на максимальную частоту дискретизации, обеспечиваемую модулем и не может быть перестроен. Поэтому, если при измерении медленно протекающих процессов частота дискретизации программно выбрана низкой, а антиалиасный фильтр не перестроен, то помеха не ослабляется антиалиасным фильтром и поэтому в измеренном сигнале появляются алиасные помехи.
|
Располагается на площади 8900 м², оснащено самым современным технологическим оборудованием, имеет научно-исследовательское и конструкторское подразделение, использующие передовые средства автоматизации проектирования. |
|
КОНТАКТЫ
|
© НИЛ АП, ООО, 1989-2025 |
|